小舟同学在复习浙教版九上93页第1题后进行变式拓展与思考，如图1，为的内接三角形，其中，请完成以下探究：

1. 小舟同学在复习浙教版九上93页第1题后进行变式拓展与思考，如图1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内接三角形，其中 $\text{[math]}$ ，请完成以下探究：

(1) ①【直观感受】请在图2中用圆规和直尺画出满足条件的所有等腰三角形 $\text{[math]}$ ；

②【复习回顾】若 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ，请计算 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图3，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

①【思考探究】求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式（不必写自变量取值范围）；

②【感悟应用】若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的三等分点，求 $\text{[math]}$ .

【考点】

相似三角形的判定与性质; 尺规作图-垂直平分线; 三角形的中位线定理;

【答案】

您现在未登录，无法查看试题答案与解析。登录

实践探究题困难

1. 主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图

【阅读理解】

任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC ，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的中点．

操作：如图2，连接BE、CD交于点P ，连接AP交DE于点M ，延长AP交BC于点N ，则M、N分别为DE、BC的中点．

理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP ，可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，则BN＝CN ， DM＝EM ，即M、N分别为DE、BC的中点．

【实践操作】

请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．

(1) 如图3，l₁∥l₂ ，点E、F在直线l₂上．

①作线段EF的中点；

②在①中作图的基础上，在直线l₂上位于点F的右侧作一点P ，使得PF＝EF；

(2) 小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…、k倍（k为正整数）的线段．如图4，l₁∥l₂ ，已知点P₁、P₂在l₁上，他利用上述方法作出了P₂P₃＝P₃P₄＝P₁P₂.点E、F在直线l₂上，请在图4中作出线段EF的三等分点；

(3) 【探索发现】

请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．

如图5，DE是△ABC的中位线．请在线段EC上作出一点Q ，使得QE $\text{[math]}$ CE（要求用两种方法）．

实践探究题困难

2. 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“双等腰四边形”。

(1) 如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连结BD，E是BD的中点，连结AE，CE.

①试判断四边形ABCE是否为“双等腰四边形”，并说明理由.

②若∠AEC=90°，求∠ABC的度数.

(2) 如图②，E是矩形ABCD内一点，F是边CD上一点，四边形AEFD是“双等腰四边形”，且AD=DE.延长AE交BC于点G，连结FG.若AD=5， $\text{[math]}$ 求AB的长。

实践探究题困难

3. 如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E，F在边AB上 $\text{[math]}$ ，且点C，D，G，H在直线AB的同侧；第二步，设置 $\text{[math]}$ ，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点 $\text{[math]}$ ，射线OH与射线AD相交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），射线OG与射线BC相交于点 $\text{[math]}$ （点Q，C不重合），观测DP，CQ的长度.

(1) 如图2，小丽取AB=4，EF=3，m=1，n=3，滑动矩形EFGH，当点E，A重合时，CQ=.

(2) 小丽滑动矩形EFGH，使得О恰为边AB的中点.她发现对于任意的m≠n，DP=CQ总成立.请说明理由.

(3) 经过数次操作，小丽猜想，设定m，n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP=CQ总成立.小丽的猜想是否正确？请说明理由.

实践探究题困难