数学活动淉上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种低片两张拼成如图2的大正方形．

1. 数学活动淉上，老师准备了若干张如图1的三种纸片， $\text{[math]}$ 种纸片是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 种纸片是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 种纸片是长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，并用 $\text{[math]}$ 种纸片一张， $\text{[math]}$ 种纸片一张， $\text{[math]}$ 种低片两张拼成如图2的大正方形．

(1) 观察图2，请你写出下列三个代数式： $\text{[math]}$ 之间的等量关系；

(2) 若要拼出一个面积为 $\text{[math]}$ 的矩形，求需要 $\text{[math]}$ 三种纸片各几张；

(3) 根据（1）中的等量关系，解决如下问题：

①已知： $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②已知： $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

多项式乘多项式; 完全平方公式及运用; 完全平方公式的几何背景;

【答案】

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计算题普通

1. 数形结合是一种重要的数学思想方法．数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的正方形纸片 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，以及长为 $\text{[math]}$ 、宽为 $\text{[math]}$ 的长方形纸片 $\text{[math]}$ ，观察图形并解答下列问题：

(1) 小玲想用图1的三种纸片拼出一个面积为 $\text{[math]}$ 的大长方形，则需要 $\text{[math]}$ 纸片________张， $\text{[math]}$ 纸片________张， $\text{[math]}$ 纸片________张（空格处填写数字）

(2) 观察图2，请写出下列三个代数式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的等量关系；

(3) 运用你所得的公式，计算：当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的值．

(4) 现将一张 $\text{[math]}$ 卡片放在 $\text{[math]}$ 卡片的内部得图3，将一张 $\text{[math]}$ 卡片和一张 $\text{[math]}$ 卡片并列放置后构造新的正方形得图4．若图3和图4中阴影部分的面积分别为6和15，求图4的边长．

计算题普通

2. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一．如图2，杨辉三角给出了 $\text{[math]}$ （n为正整数）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序排列）．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应 $\text{[math]}$ 展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 $\text{[math]}$ 展开式中各项的系数等．

(1) 按上述规律， $\text{[math]}$ 展开式中共有项，第三项是；

(2) 请直接写出 $\text{[math]}$ 的展开式．

(3) 利用上面的规律计算： $\text{[math]}$ ．

计算题普通

3. 【知识生成】

【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到 $\text{[math]}$ ，基于此，请解答下列问题：

【直接应用】（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

【类比应用】（2）填空：①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 　　；

②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 　　；

【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板 $\text{[math]}$ 如图2所示放置，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在一直线上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求一块直角三角板的面积．

计算题困难