如图，已知各边长为4的五边形由正方形及等边三角形组成，现将沿折起，连接，得到四棱锥，且二面角的正切值为．

1. 如图，已知各边长为4的五边形 $\text{[math]}$ 由正方形 $\text{[math]}$ 及等边三角形 $\text{[math]}$ 组成，现将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，连接 $\text{[math]}$ ，得到四棱锥 $\text{[math]}$ ，且二面角 $\text{[math]}$ 的正切值为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四棱锥 $\text{[math]}$ 为正四棱锥；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值；

(3) 若点 $\text{[math]}$ 是侧棱 $\text{[math]}$ 上的动点，现要经过点 $\text{[math]}$ 作四棱锥 $\text{[math]}$ 的截面，使得截面垂直于侧棱 $\text{[math]}$ ，试求截面面积的最大值．

【考点】

棱锥的结构特征; 二面角及二面角的平面角;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是面积为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ ，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为 $\text{[math]}$ .

(1) 计算四棱锥 $\text{[math]}$ 的高；

(2) 计算四棱锥 $\text{[math]}$ 侧面三角形底边上的高.

解答题普通

2. （阅读材料）数学命题的推广是数学发展不可缺少的一种手段，同时也是一项富有挑战性和创造性的活动.我们知道，在 $\text{[math]}$ 中，记角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，边与角的关系满足正弦定理： $\text{[math]}$ .下面是正弦定理在空间中的一种推广：在对棱分别相等的三棱锥中，侧棱和其所对二面角的正弦值之比相等.如：在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 所对的二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ .满足： $\text{[math]}$ .根据以上阅读材料，解答以下两个问题：

(1) 正四面体 $\text{[math]}$ 中，已知棱长 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 已知长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，容易得出：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.

解答题普通

3. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠ACB=90°．BC=CC₁=a，AC=2a．

(1) 求证：AB₁⊥BC₁；

(2) 求二面角B﹣AB₁﹣C的正弦值．

解答题普通