如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点．

1. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(3) 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

【考点】

空间中直线与直线之间的位置关系; 空间中直线与平面之间的位置关系; 直线与平面平行的判定; 与二面角有关的立体几何综合题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，某公司出产了一款美观实用的筷子笼，是由与圆柱底面成一定角度的截面截圆柱所得．如果从截面的最底端到最高端部分还原圆柱，如下图所示， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为圆柱 $\text{[math]}$ 底面直径， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆柱的母线， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 截圆柱且与底面所在平面交于直线 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若底面有一动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点出发在圆 $\text{[math]}$ 上运动一周，过动点 $\text{[math]}$ 的母线与截面 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系．

解答题普通

2. 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，四边形 $\text{[math]}$ 为梯形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

解答题普通

3. 如图1，在直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为直角， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 所处的位置，连接 $\text{[math]}$ ，如图2.

(1) 若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若二面角 $\text{[math]}$ 为锐角，且二面角 $\text{[math]}$ 的正切值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

解答题困难