已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，若存在常数 $\text{[math]}$ ，使得对 $\text{[math]}$ 内的任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”.

(1) 判断函数 $\text{[math]}$ 是否为“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”，并说明理由；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是周期为2的“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ .

【考点】

抽象函数及其应用; 函数的周期性;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若存在实数m、k（ $\text{[math]}$ ），使得对于定义域内的任意实数x ，均有 $\text{[math]}$ 成立，则称函数 $\text{[math]}$ 为“可平衡”函数；有序数对 $\text{[math]}$ 称为函数 $\text{[math]}$ 的“平衡”数对．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的“平衡”数对；

(2) 若m＝1，判断 $\text{[math]}$ 是否为“可平衡”函数，并说明理由；

(3) 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为函数 $\text{[math]}$ 的“平衡”数对，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 设函数y=f（x）在[﹣3，3]上是奇函数，且对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=﹣2：

（Ⅰ）求f（2）的值；

（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；

（Ⅲ）求不等式f（x﹣1）＞4的解集．

解答题普通

3. 已知定义域为[0，e]的函数f（x）同时满足：

①对于任意的x∈[0，e]，总有f（x）≥0；

②f（e）=e；

③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤e，则恒有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．

(1) 求f（0）的值；

(2) 证明：不等式f（x）≤e对任意x∈[0，e]恒成立；

(3) 若对于任意x∈[0，e]，总有4f²（x）﹣4（2e﹣a）f（x）+4e²﹣4ea+1≥0，求实数a的取值范围．

解答题困难