已知数列满足，，数列的前项和为，且．

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

【考点】

等差数列概念与表示; 等差数列的通项公式; 等比数列概念与表示; 等比数列的通项公式; 数列的求和;

【答案】

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解答题普通

1. 若数列 $\text{[math]}$ 满足：存在等差数列 $\text{[math]}$ ，使得集合 $\text{[math]}$ 元素的个数为不大于 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 具有 $\text{[math]}$ 性质.

(1) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，且数列 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 性质；

(2) 若数列 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 性质，数列 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 性质，证明：数列 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 性质；

(3) 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，若数列 $\text{[math]}$ 具有 $\text{[math]}$ 性质，是否存在 $\text{[math]}$ ，使得数列 $\text{[math]}$ 具有 $\text{[math]}$ 性质？说明理由.

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ 的数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成公差为1的等差数列，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列； $\text{[math]}$ 的数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成公差为1的等差数列．

(1) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(2) 证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

(3) 是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ？若存在，求出所有的 $\text{[math]}$ ；若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 若数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的表达式.

解答题普通