如图，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．

1. 如图，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点 $\text{[math]}$ 是拱桥 $\text{[math]}$ 的中点，桥下水面的宽度 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到水面 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处各装有一个照明灯，图中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 左右转动，且光束始终照在水面 $\text{[math]}$ 上．即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可分别绕点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，此时，线段 $\text{[math]}$ 是这两灯照在水面 $\text{[math]}$ 上的重叠部分的水面宽度．

(1) 求圆弧型拱桥所在圆的半径．

(2) 求照明灯 $\text{[math]}$ 距离水面的高度．

(3) 已知 $\text{[math]}$ ，在这两个灯的照射下，当整个水面 $\text{[math]}$ 都被灯光照到时，求这两个灯照在水面 $\text{[math]}$ 上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答)

【考点】

勾股定理; 垂径定理的实际应用; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不重合）．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的纵坐标（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求抛物线 $\text{[math]}$ 的纵坐标在 $\text{[math]}$ 时的取值范围；

(3) 对于 $\text{[math]}$ 的每一个确定的值， $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如果抛物线的顶点到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 以点 $\text{[math]}$ 为圆心、 $\text{[math]}$ 为半径的 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴的负半轴于点 $\text{[math]}$ ，第一象限内的点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且劣弧 $\text{[math]}$ 如果抛物线经过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，若抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，则称 $\text{[math]}$ 为抛物线P的“交轴三角形”．

(1) 若抛物线 $\text{[math]}$ 存在“交轴三角形”．

①k的取值范围为________；

②若 $\text{[math]}$ ，则该三角形是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）

(2) 若抛物线 $\text{[math]}$ 的“交轴三角形”是一个等边三角形，求a，c之间的数量关系．

解答题困难