如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面，与平面所成角为，为线段上的点．

1. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的点．

(1) 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

(2) 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 的三等分点，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

【考点】

棱柱、棱锥、棱台的体积; 直线与平面平行的判定;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，顶点 $\text{[math]}$ 在底面的射影为线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求过点 $\text{[math]}$ 的平面截该棱锥得到两部分的体积之比．

解答题普通

2. 如图，在正四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E是棱 $\text{[math]}$ 的中点；

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.

解答题普通

3. 三棱柱 $\text{[math]}$ 的棱长都为2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求证：直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题普通