如图1，在中，直径AB垂直弦CD，连结AC、AD，弦CG平分分别交AB、AD于点E，F，AG与CD的延长线交于点．

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中，直径AB垂直弦CD，连结AC、AD，弦CG平分 $\text{[math]}$ 分别交AB、AD于点E，F，AG与CD的延长线交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ ；

(3) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ ．

【考点】

垂径定理; 圆周角定理; 黄金分割; 相似三角形的判定-AA; 相似三角形的性质-对应面积;

【答案】

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综合题困难

1. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 $\text{[math]}$ 时，越给人一种美感．如图，某女士身高 $\text{[math]}$ ，下半身长 $\text{[math]}$ 与身高 $\text{[math]}$ 的比值是 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该女士下半身长 $\text{[math]}$ ；

(2) 为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到 $\text{[math]}$ ）

综合题普通

2. 如图，已知 $\text{[math]}$ .

求作： $\text{[math]}$ 的内接等边 $\text{[math]}$ .

小丽同学的作法及证明过程如下：

作法：①作直径 $\text{[math]}$ ；

②作半径 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，垂足为 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点；

③连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

所以 $\text{[math]}$ 即为 $\text{[math]}$ 的内接等边三角形.

∵在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ （①）

∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ 为等边三角形

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ （②）

∴ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内接等边三角形.

(1) 在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是；.

(2) 请你再给出一种作图方法.（尺规作图，保留作图痕迹）

综合题普通

3. 已知：如图，点M为锐角∠APB 的边PA上一点．

求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．

作法：

①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；

②作射线MD．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明：∵P、C、D都在⊙M 上，

∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，

∴∠P＝ $\text{[math]}$ ∠CMD（）（填推理依据）．

∴∠AMD＝2∠P．

综合题普通