如图，已知 . 求作：的内接等边 . 小丽同学的作法及证明过程如下：作法：①作直径； ②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点； ③连接， . 所以即为的内接等边三角形. ∵在中，垂直平分 ∴ ， ∵ ∴ （①） ∵ ∴ 为等边三角形 ∴ ∴ （②） ∴ 为的内接等边三角形.

1. 如图，已知 $\text{[math]}$ .

求作： $\text{[math]}$ 的内接等边 $\text{[math]}$ .

小丽同学的作法及证明过程如下：

作法：①作直径 $\text{[math]}$ ；

②作半径 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，垂足为 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点；

③连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

所以 $\text{[math]}$ 即为 $\text{[math]}$ 的内接等边三角形.

∵在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ （①）

∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ 为等边三角形

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ （②）

∴ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内接等边三角形.

(1) 在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是；.

(2) 请你再给出一种作图方法.（尺规作图，保留作图痕迹）

【考点】

垂径定理; 圆周角定理;

【答案】

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综合题普通

1. 已知：如图，点M为锐角∠APB 的边PA上一点．

求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．

作法：

①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；

②作射线MD．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明：∵P、C、D都在⊙M 上，

∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，

∴∠P＝ $\text{[math]}$ ∠CMD（）（填推理依据）．

∴∠AMD＝2∠P．

综合题普通

2. 小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质.

(1) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与⊙O相切于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为⊙O上不同于 $\text{[math]}$ 的两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .请你写出图中的两个弦切角；（不添加新的字母和线段）

(2) 小锐目测 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？

已知：如图，直线 $\text{[math]}$ 与⊙O相切于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆上不同于 $\text{[math]}$ 的两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

求证： $\text{[math]}$ .

(3) 如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理.

综合题普通

3. 如图，已知 $\text{[math]}$ 是⊙O的直径，弦 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数

(2) 求弦CD的长

综合题普通