综合与实践问题情境在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形为操作对象，纸片和 .下面是创新小红的探究过程

1. 综合与实践

问题情境

在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形为操作对象，纸片 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .下面是创新小红的探究过程

(1) 【操作发现】如图 1，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，将两张纸片放置在同一平面内，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合.当旋转 $\text{[math]}$ 纸片交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ 、交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ 时，设 $\text{[math]}$ ，请你探究出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并写出解答过程.

(2) 【问题解决】如图 2，在 (1) 的条件下连接 $\text{[math]}$ ，发现 $\text{[math]}$ 的周长是一个定值. 请你写出这个定值，并说明理由.

(3) 【拓展延伸】如图 3，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上运动（不包括端点 $\text{[math]}$ )，且始终保持 $\text{[math]}$ .请你直接写出 $\text{[math]}$ 纸片的斜边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 纸片的直角边所夹锐角的正切值（结果保留根号）。

【考点】

旋转的性质; 三角形的综合; 三角形-动点问题; 一线三等角相似模型（K字型相似模型）; 相似三角形的判定-SAS; 相似三角形的性质-对应角;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【问题情景】如图，在△ABC，中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F，将线段CF绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段CG，连接AG.

(1) 如图1，当CE是∠ACB的角平分线时

①求证：AE=AF；

②直接写出∠CAG= .

(2) 【深入探究】

依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明.

实践探究题困难

(1) 观察猜想

小华将△ADE绕点A逆时针旋转，连接 $\text{[math]}$ ，如图（2），当 $\text{[math]}$ 的延长线恰好经过点E时，

① $\text{[math]}$ 的值为；

② $\text{[math]}$ 的度数为度；

(2) 类比探究

如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转△ADE，连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于点F ，请求出 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的度数，并说明理由．

(3) 拓展延伸

若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 所在的直线垂直于 $\text{[math]}$ 时，请你直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

3. 问题提出

如图（ $\text{[math]}$ ），在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间存在怎样的数量关系？

(1) 问题探究：

①先将问题特殊化如图（ $\text{[math]}$ ），当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合时，易证 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），请利用全等探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；

②再探究一般情形如图（ $\text{[math]}$ ），当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合时，证明（ $\text{[math]}$ ）中的结论仍然成立．

(2) 问题拓展：

如图（ $\text{[math]}$ ），在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数），点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．直接写出一个等式，表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

实践探究题困难