已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中插入 $\text{[math]}$ 个数，使这 $\text{[math]}$ 个数组成一个公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式及 $\text{[math]}$ ；

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，求 $\text{[math]}$ ．

【考点】

等差数列概念与表示; 等差数列的通项公式; 数列的求和;

【答案】

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解答题普通

1. 若数列 $\text{[math]}$ 满足：存在等差数列 $\text{[math]}$ ，使得集合 $\text{[math]}$ 元素的个数为不大于 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 具有 $\text{[math]}$ 性质.

(1) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，且数列 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 性质；

(2) 若数列 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 性质，数列 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 性质，证明：数列 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 性质；

(3) 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，若数列 $\text{[math]}$ 具有 $\text{[math]}$ 性质，是否存在 $\text{[math]}$ ，使得数列 $\text{[math]}$ 具有 $\text{[math]}$ 性质？说明理由.

解答题困难

2. 已知在等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；

(2) 求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

解答题普通

3. 在等差数列 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，数列的 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ .

解答题普通