在矩形中，，．动点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从A点出发，沿射线方向匀速运动，速度为．过点P作，垂足为点P，交射线于点E，连接，交于点G，交于点F．设运动时间为．

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1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点P从点D出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ；同时，点Q从A点出发，沿射线 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ．过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为点P，交射线 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点G，交 $\text{[math]}$ 于点F．设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点E与点C重合时，求t的值；

(2) 当t为何值时，点Q，B，E在一条直线上；

(3) 是否存在某一时刻t，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题普通

1. 利用图形的构造可以有效解决代数问题，对于如下的函数 $\text{[math]}$ 可以转化为这样的一个几何图形，其中 $\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$

(2) 直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值，和此时 $\text{[math]}$ 的值

解答题普通

2. 【定义新知】

如图1，在 $\text{[math]}$ 中，点D、E分别在直角边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“勾股线”．

【初步探究】

（1）如图1，在 $\text{[math]}$ 中，若点D，E分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ 的“勾股线”；（填“是”或“不是”）

（2）如图2，已知 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点D、E分别在直角边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“勾股线”， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

【问题解决】

（3）碳纤维板是将同一方向排列的碳素纤维使用树脂浸润硬化形成碳纤维板材，在多个领域都有应用，常用的有宇航、体育器材、工业、消防等．如图3，四边形 $\text{[math]}$ 是某机械厂的一块碳纤维板， $\text{[math]}$ ，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“勾股线”， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 足够长．工人王师傅想要以 $\text{[math]}$ 为直角边、点F为直角顶点在这块碳纤维板中裁出一块直角三角形的部件 $\text{[math]}$ （点N在 $\text{[math]}$ 上）．

王师傅作法如下：在 $\text{[math]}$ 上确定一点M，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 即为所裁部件．判断王师傅裁出的 $\text{[math]}$ 部件是否符合要求（即 $\text{[math]}$ 是否是以点F为直角顶点的直角三角形），若符合要求，请你求出 $\text{[math]}$ 的值；若不符合要求，请说明理由，