某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，MN为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动．

1. 某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边 $\text{[math]}$ 组成，直径 $\text{[math]}$ ，半圆O的中点为点C，MN为桌面，半圆O与 $\text{[math]}$ 相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面 $\text{[math]}$ 上做无滑动的滚动．

(1) 如图1， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长为______ $\text{[math]}$ （结果保留根号）；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ．

①直接写出 $\text{[math]}$ 的度数，并求点C到桌面 $\text{[math]}$ 的距离（结果保留根号）；

②比较 $\text{[math]}$ 与直径 $\text{[math]}$ 的长度；

(3) 当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 时“不倒翁”开始折返，直接写出从 $\text{[math]}$ 滚动到 $\text{[math]}$ （图2—图3）过程中，点Q在 $\text{[math]}$ 上移动的距离．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 切线的性质; 弧长的计算;

【答案】

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解答题普通

1. 已知二次函数 $\text{[math]}$ （a，b为常数， $\text{[math]}$ ）与y轴交于点C，点P为二次函数图象上一动点，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ （t为常数）作直线l垂直于y轴．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与直线l交于A、B两点．

①填空：当点P与点C重合时，点M的坐标为， t的取值范围为；

②是否存在实数t，使 $\text{[math]}$ 的长为定值，若存在，求出t的值，若不存在请说明理由；

(2) 若不论P如何运动， $\text{[math]}$ 与直线l始终相切，当 $\text{[math]}$ 时，求b的值．

解答题普通

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不重合）．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的纵坐标（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求抛物线 $\text{[math]}$ 的纵坐标在 $\text{[math]}$ 时的取值范围；

(3) 对于 $\text{[math]}$ 的每一个确定的值， $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，若抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，则称 $\text{[math]}$ 为抛物线P的“交轴三角形”．

(1) 若抛物线 $\text{[math]}$ 存在“交轴三角形”．

①k的取值范围为________；

②若 $\text{[math]}$ ，则该三角形是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）

(2) 若抛物线 $\text{[math]}$ 的“交轴三角形”是一个等边三角形，求a，c之间的数量关系．

解答题困难