如图，矩形中，，，点为线段上一点，点为线段一点，取线段的中点，以，为邻边向上作，、所在直线分别交于．设．

1. 如图 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 一点，取线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边向上作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所在直线分别交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时（如图 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 的值为．

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数表达式．

【考点】

勾股定理; 平行四边形的性质; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的方程. $\text{[math]}$ 的两个根 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 若反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点，点 $\text{[math]}$ 为反比例函数图象上一点，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一动点， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的交点，且满足， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，把 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠．点D的对应点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 刚好落在对角线 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求点 $\text{[math]}$ 刚好落在此矩形的对称轴上时，线段 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，分别交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上的高．

解答题普通