如图，抛物线C1：y＝ax2﹣2x过点（4，0），顶点为Q ．抛物线C2：y＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P ．

1. 如图，抛物线C₁：y＝ax²﹣2x过点（4，0），顶点为Q ．抛物线C₂：y＝﹣ $\text{[math]}$ （x﹣t）²+ $\text{[math]}$ t²﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P ．

(1) 直接写出a的值和点Q的坐标．

(2) 嘉嘉说：无论t为何值，将C₁的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C₂上．

淇淇说：无论t为何值，C₂总经过一个定点．

请选择其中一人的说法进行说理．

(3) 当t＝4时，

①求直线PQ的解析式；

②作直线l∥PQ ，当l与C₂的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．

(4) 设C₁与C₂的交点A ， B的横坐标分别为x_A ， x_B ，且x_A＜x_B ，点M在C₁上，横坐标为m（2≤m≤x_B）．点N在C₂上，横坐标为n（x_A≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d ，点N到直线PQ的距离恰好也为d ，直接用含t和m的式子表示n ．

【考点】

二次函数图象的几何变换; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题; 二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的函数解析式；

(2) 如图1，若点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的三等分点时，求点 $\text{[math]}$ 坐标；

(3) 如图2，将抛物线 $\text{[math]}$ 向右平移得到新抛物线，直线 $\text{[math]}$ 与新抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，求新抛物线的解析式．

综合题普通

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，其对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线的函数解析式；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 为第三象限抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别是直线 $\text{[math]}$ 和抛物线上的动点，且点 $\text{[math]}$ 的横坐标比点 $\text{[math]}$ 的横坐标大 $\text{[math]}$ 个单位长度，分别过 $\text{[math]}$ 作坐标轴的平行线，得到矩形 $\text{[math]}$ ．设该抛物线在矩形 $\text{[math]}$ 内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值；

$\text{[math]}$ 请直接写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式．

综合题困难

3. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B ，与y轴交于点C ，对称轴为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，若点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不与点B ， C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q ，连接 $\text{[math]}$ ．当线段 $\text{[math]}$ 长度最大时，判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由；

(3) 如图2，在（2）的条件下，D是 $\text{[math]}$ 的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E ，且 $\text{[math]}$ ．在y轴上是否存在点F ，使得 $\text{[math]}$ 为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难