如图，已知抛物线（）与x轴交于点和点B ，与y轴交于点C ，对称轴为．

1. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B ，与y轴交于点C ，对称轴为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，若点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不与点B ， C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q ，连接 $\text{[math]}$ ．当线段 $\text{[math]}$ 长度最大时，判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由；

(3) 如图2，在（2）的条件下，D是 $\text{[math]}$ 的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E ，且 $\text{[math]}$ ．在y轴上是否存在点F ，使得 $\text{[math]}$ 为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，其对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线的函数解析式；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 为第三象限抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别是直线 $\text{[math]}$ 和抛物线上的动点，且点 $\text{[math]}$ 的横坐标比点 $\text{[math]}$ 的横坐标大 $\text{[math]}$ 个单位长度，分别过 $\text{[math]}$ 作坐标轴的平行线，得到矩形 $\text{[math]}$ ．设该抛物线在矩形 $\text{[math]}$ 内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值；

$\text{[math]}$ 请直接写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式．

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，D（0，﹣3），抛物线y＝﹣2x²+6x+8与y轴交于C点，交x轴于A、B两点（A在B的左边），E为抛物线第一象限上一动点．

(1) 直接写出A，B两点坐标；

(2) 连接BD，过E作EF⊥x轴交BD于F，当DF＝CE时，求点E的横坐标；

(3) 连接ED，平移至MN，使M，E对应，使M，N分别与D，E对应，且M，N均落在抛物线上，连接EM，判断并证明直线EM是否经过一个定点．

综合题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ．

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 点P是直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点E ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时点P的坐标；

(3) 将该抛物线沿x轴向右平移4个单位长度得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，点N是原抛物线上一点，在新抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得以B ， C ， N ， M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．

综合题普通