本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位.

1. 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

已知 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的一个根，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 记复数 $\text{[math]}$ ，求复数 $\text{[math]}$ 的模.

【考点】

复数相等的充要条件; 复数代数形式的乘除运算; 复数的模; 方程的解与虚数根;

【答案】

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解答题容易

1. 我们知道，复数可以用 $\text{[math]}$ 的形式来表示，与复平面内的点 $\text{[math]}$ 是一一对应的，复数的模 $\text{[math]}$ ，即是复平面内的点 $\text{[math]}$ 到坐标原点 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ .又复数与平面向量 $\text{[math]}$ 也是一一对应的，所以也可以借助与 $\text{[math]}$ 非负半轴为始边，以向量 $\text{[math]}$ 所在射线（射线OZ）为终边的角 $\text{[math]}$ 来刻画 $\text{[math]}$ 的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算.

如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，角 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，角 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ .即：复数 $\text{[math]}$ ，相当于将复数 $\text{[math]}$ 伸长了 $\text{[math]}$ 倍，同时逆时针旋转角 $\text{[math]}$ 后得到.

(1) 计算 $\text{[math]}$ ，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义；

(2) 现将直角坐标平面内任意一点 $\text{[math]}$ ，绕坐标原点逆时针旋转 $\text{[math]}$ 角，并将 $\text{[math]}$ 的长度伸长 $\text{[math]}$ 倍后得到点 $\text{[math]}$ .请借助以上复数运算的知识，推导点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 伸缩旋转变换的坐标关系；

(3) 已知反比例函数 $\text{[math]}$ ，现将函数 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 都逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到点 $\text{[math]}$ ，的曲线 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 坐标关系式.

解答题普通

2. 任意一个复数 $\text{[math]}$ 的代数形式都可写成复数三角形式，即 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位， $\text{[math]}$ ．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立．设两个复数用三角函数形式表示为： $\text{[math]}$ ，则： $\text{[math]}$ ．如果令 $\text{[math]}$ ，则能导出复数乘方公式： $\text{[math]}$ ．请用以上知识解决以下问题．

(1) 试将 $\text{[math]}$ 写成三角形式；

(2) 试应用复数乘方公式推导三倍角公式： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；

(3) 计算： $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的模．

解答题普通