轻质弹簧原长为，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为。现将该弹簧水平放置，一端固定在点，另一端与物块接触但不连接。是长度为的水平轨道，端与半径为的光滑半圆轨道相切，半圆的直径竖直，如图所示。物块与间的动摩擦因数。用外力推动物块，将弹簧压缩至长度，然后释放，开始沿轨道运动，重力加速度大小为。试求：

1. 轻质弹簧原长为 $\text{[math]}$ ，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为 $\text{[math]}$ 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为 $\text{[math]}$ 。现将该弹簧水平放置，一端固定在 $\text{[math]}$ 点，另一端与物块 $\text{[math]}$ 接触但不连接。 $\text{[math]}$ 是长度为 $\text{[math]}$ 的水平轨道， $\text{[math]}$ 端与半径为 $\text{[math]}$ 的光滑半圆轨道 $\text{[math]}$ 相切，半圆的直径 $\text{[math]}$ 竖直，如图所示。物块 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ 。用外力推动物块 $\text{[math]}$ ，将弹簧压缩至长度 $\text{[math]}$ ，然后释放， $\text{[math]}$ 开始沿轨道运动，重力加速度大小为 $\text{[math]}$ 。试求：

(1) 该轻质弹簧长度为 $\text{[math]}$ 时的弹性势能；

(2) 若物块 $\text{[math]}$ 恰好能滑上圆轨道的 $\text{[math]}$ 点，物块 $\text{[math]}$ 的质量；

(3) 若物块 $\text{[math]}$ 的质量为 $\text{[math]}$ ，物块 $\text{[math]}$ 运动过程中最高点的高度。

【考点】

功能关系; 斜抛运动; 竖直平面的圆周运动; 机械能守恒定律;

【答案】

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计算题困难

1. 如图所示，篮筐距水平地面的高度 $\text{[math]}$ ，某次远距离投篮练习中，竖直站立的运动员到篮筐中心的水平距离 $\text{[math]}$ ，篮球（视为质点）出手点距地面的高度 $\text{[math]}$ ，篮球投出后恰好“空心”入筐。已知篮球的运行轨迹为抛物线，最高点距地面的高度 $\text{[math]}$ ，重力加速度 $\text{[math]}$ ，不计空气阻力。求：

(1) 篮球从出手到进筐所用的时间t；

(2) 篮球出手时的速度大小v。

计算题普通

2. 如图所示，用挡板将物块（视为质点）挡在粗糙的固定斜面上，斜面的倾角θ＝37°，物块距斜面底端的高度h＝2.4m，粗糙木板紧靠斜面底端停放在水平面上，斜面底端刚好与木板上表面左端在同一水平线上。现抽去挡板，让物块由静止下滑。已知物块与木板的质量相等，物块与斜面间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ，物块与木板上表面间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ，木板下表面与水平面间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ，物块通过斜面底端的过程中速度大小不变，取重力加速度大小 $\text{[math]}$ ， sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

(1) 求物块通过斜面底端时的速度大小v；

(2) 要使物块不从木板右端滑落，求木板的长度L应满足的条件。

计算题普通

3. 如图所示，某同学在练习篮球投篮，篮球的投出点高度h=1.80m，初速度大小为 $\text{[math]}$ m/s，与水平方向夹角为θ=45°，篮筐距离地面高H=3.05m，若篮球正好落入筐中，将篮球视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s²。求：

(1) 篮球在最高点时的速度大小；

(2) 篮球投出点距离篮筐中心的水平距离（结果可保留根号）。

计算题普通