如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接．

1. 如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接AE，过点E作 $\text{[math]}$ ，交边CD于点F，若 $\text{[math]}$ ，求BE的长．

下面是小明、小华和小东三位同学关于本题不同视角下的部分思维过程：

小明：从直线BD是正方形的对称轴角度看，连接EC，如图2，则 $\text{[math]}$ ， ∠ECD＝∠EAD，又 $\text{[math]}$ ， ……

小华：从 $\text{[math]}$ 的角度看，可以过点E作BC的平行线，交AB、CD于M、N，如图3，通过证明 $\text{[math]}$ ， ……

小东：从 $\text{[math]}$ 的角度看，还可以过点E作BD的垂线，交DC的延长线于点P，如图4，……

请结合上面的思路，求BE的长．

证明题普通

2. 实践探究

如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，若得到一个正方形，剪口与折痕应成______度的角．

知识应用

(1)小明按照以上方法剪出两个边长为 $\text{[math]}$ 的全等正方形，如图②所示摆放，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为______．

(2)小明发现，正方形 $\text{[math]}$ 在绕点 $\text{[math]}$ 转动的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 $\text{[math]}$ 面积之间存在一定的数量关系，如图③写出该数量关系，并予以证明．

拓展延伸

小明剪了两个大小不同的等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 和等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．如图④放置，其中点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 时．请直接写出两个等腰直角三角形重叠部分的面积．

证明题普通

3. 实践探究

如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，若得到一个正方形，剪口与折痕应成______度的角．

知识应用

(1)小明按照以上方法剪出两个边长为 $\text{[math]}$ 的全等正方形，如图②所示摆放，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为______．

(2)小明发现，正方形 $\text{[math]}$ 在绕点 $\text{[math]}$ 转动的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 $\text{[math]}$ 面积之间存在一定的数量关系，如图③写出该数量关系，并予以证明．

拓展延伸

小明剪了两个大小不同的等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 和等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．如图④放置，其中点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 时．请直接写出两个等腰直角三角形重叠部分的面积．

证明题普通