若n为正整数，观察下列各式：①；②；③ ．根据观察计算并填空：

1. 若n为正整数，观察下列各式：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．

根据观察计算并填空：

(1) $\text{[math]}$ ______；

(2) $\text{[math]}$ ______；

(3) 计算： $\text{[math]}$ ．

【考点】

平方差公式及应用; 探索数与式的规律;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，1~5号正方形边长分别为1，2，3，4，5，可得出以下规律：

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

……

根据以上规律，解答下列问题：

(1) $\text{[math]}$

(2) $\text{[math]}$ （用含n的式子表示，需化简）

(3) 求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 提出问题：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如， $\text{[math]}$ ， 16就是一个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是哪个数？

解决问题：小颖的方法是一个一个找出来：

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

……

小明认为小颖的方法太麻烦．他想到：设 $\text{[math]}$ 是正整数，由于

(1) $\text{[math]}$ （）（）=________，所以，除1外，所有的奇数都是智慧数．

(2) 又因为 $\text{[math]}$ （）（）=________，所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．

还剩什么数没搞清楚呢？还剩被4除余2的数．小亮认为，如果 $\text{[math]}$ 是智慧数，那么必有两个正整数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ①

因为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 这两个数的奇偶性相同，所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，可见等式左、右两边不相等，所以 $\text{[math]}$ 不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．

得出结论：由此，可得结论，把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．

(3) 应用结论：下列偶数中是智慧数的是（）

A、2014 B、2018 C、2020 D、2022

(4) 在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是________．

(5) 拓展应用：已知智慧数按从小到大的顺序构成如下列：

3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，……

则第2025个智慧数是________．

解答题普通

3. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．

例如： $\text{[math]}$ ；则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 这三个数都是奇特数．

(1) 填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”）

(2) 如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形 $\text{[math]}$ ，其边长为403，求阴影部分的面积．

解答题普通