马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2，已知和圆上一点M.作法如下：①以点为圆心，OM长为半径，作弧交于A ， B两点；②延长MO交于点；即点将的圆周三等分.

1. 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2，已知 $\text{[math]}$ 和圆上一点M.作法如下：

①以点 $\text{[math]}$ 为圆心，OM长为半径，作弧交 $\text{[math]}$ 于A ， B两点；

②延长MO交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

即点 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 的圆周三等分.

(1) 请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将 $\text{[math]}$ 的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)；

(2) 根据(1)画出的图形，连接 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长为cm.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 圆周角定理; 锐角三角函数的定义; 尺规作图-等腰（等边）三角形;

【答案】

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作图题普通

1. 已知四边形ABCD内接于⊙O，且已知∠ADC=120°；请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法，写明答案）．

(1) 在图1中，已知AD=CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角；

(2) 在图2中，已知AD≠CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角．

作图题普通

2. 如图，已知⊙O，请作出⊙O的一个圆周角 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

作图题普通

3. 已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．

求作：点P，使得AP＝AB，且 $\text{[math]}$ ．

作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；

②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点D（异于点C）；

③连接DA并延长交 $\text{[math]}$ 于点P．

所以点P就是所求作的点．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明：连接PC．

∵AB＝AC，

∴点C在 $\text{[math]}$ 上．

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ （）（填推理的依据），

由作图可知， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ．

作图题普通