《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD ，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.

1. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 底面ABCD ，且 $\text{[math]}$ ，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

(2) 设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为 $\text{[math]}$ ，求四棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积

【考点】

球的表面积与体积公式及应用; 球内接多面体; 直线与平面垂直的判定; 正弦定理; 余弦定理;

【答案】

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解答题普通

1. 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的内切球的表面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该内切球的半径；

(2) 过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体 $\text{[math]}$ ，求所得截面的面积．

解答题普通

2. 三维空间中，如果平面与球有且仅有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，球 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，记平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

(1) 若棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体、棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体的内切球均为球 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如果在球面上任意一点作切平面 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的交线分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 距离的乘积的最小值（结果用 $\text{[math]}$ 表示）.

解答题困难

3. 已知长方体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其外接球的表面积为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 $\text{[math]}$ ，且这个几何体的体积为10.

(1) 求棱 $\text{[math]}$ 的长：

(2) 求几何体 $\text{[math]}$ 的表面积.

解答题普通