数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和，斜边长度是c ，那么可以用数学语言表达：．

1. 数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和 $\text{[math]}$ ，斜边长度是c ，那么可以用数学语言表达： $\text{[math]}$ ．

(1) 如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 是一个（填“长方形”或“正方形”），其面积为（用含a、b的代数式表示）；

(2) 观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明 $\text{[math]}$ 的正确性；

(3) 如图③所示，折叠长方形 $\text{[math]}$ 的一边 $\text{[math]}$ ，使点D落在 $\text{[math]}$ 边的点F处，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用上面的结论求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理的证明; 勾股定理的应用; 正方形的性质; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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解答题困难

1. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢” $\text{[math]}$ 又到了放风筝的最佳时节．某校八年级 $\text{[math]}$ 班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，他们进行了如下操作： $\text{[math]}$ 测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ 米； $\text{[math]}$ 根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ 米； $\text{[math]}$ 牵线放风筝的小明的身高为 $\text{[math]}$ 米．

(1) 求风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ ；

(2) 如果小明想风筝沿 $\text{[math]}$ 方向下降 $\text{[math]}$ 米，则他应该往回收线多少米？

解答题普通

2. 如图所示，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=AF，求∠CDF的度数.

解答题普通

3. 如图，一根长 $\text{[math]}$ 的牙刷放置于底面直径是 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ 的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的范围．

解答题普通