如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动8次，求下列事件的概率．

1. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔 $\text{[math]}$ 等可能地向左或向右移动一个单位，共移动8次，求下列事件的概率．

(1) 质点回到原点；

(2) 质点位于6的位置．

【考点】

二项分布;

【答案】

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解答题普通

1. 某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮4次，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多1分；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知甲同学每次投进的概率为 $\text{[math]}$ ，乙同学每次投进的概率为 $\text{[math]}$ ，且甲、乙每次投篮相互独立.

(1) 求甲最后得3分的概率；

(2) 记甲最后得分为X ，求X的概率分布和数学期望；

(3) 记事件B为“甲、乙总分之和为7”，求 $\text{[math]}$ .

解答题普通

2. 在某公司举办的职业技能竞赛中，只有甲､乙两人晋级决赛，已知决赛第一天采用五场三胜制，即先赢三场者获胜，当天的比赛结束，决赛第二天的赛制与第一天相同.在两天的比赛中，若某位选手连胜两天，则他获得最终冠军，决赛结束，若两位选手各胜一天，则需进行第三天的比赛，第三天的比赛为三场两胜制，即先赢两场者获胜，并获得最终冠军，决赛结束.每天每场的比赛只有甲胜与乙胜两种结果，每场比赛的结果相互独立，且每场比赛甲获胜的概率均为 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求第一天比赛的总场数为4的概率；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求决出最终冠军时比赛的总场数至多为8的概率.

解答题普通

3. 19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量 $\text{[math]}$ 的分布未知的情况下，对事件 $\text{[math]}$ 做出估计.若随机变量 $\text{[math]}$ 具有数学期望 $\text{[math]}$ ，方差 $\text{[math]}$ ，则切比雪夫定理可以概括为：对任意正数 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“ $\text{[math]}$ ”和“ $\text{[math]}$ ”组成的序列，现连续发射信号 $\text{[math]}$ 次，记发射信号“ $\text{[math]}$ ”的次数为 $\text{[math]}$ .

(1) 若每次发射信号“ $\text{[math]}$ ”和“ $\text{[math]}$ ”的可能性是相等的，

①当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ ；

②为了至少有 $\text{[math]}$ 的把握使发射信号“A”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数 $\text{[math]}$ 的最小值；

(2) 若每次发射信号“A”和“B”的可能性是7：3，已知在2024次发射中，信号“A”发射 $\text{[math]}$ 次的概率最大，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题困难