为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．

1. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ²）．

(1) 假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；

(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =9.97，s= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≈0.212，其中x_i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．

用样本平均数 $\text{[math]}$ 作为μ的估计值 $\text{[math]}$ ，用样本标准差s作为σ的估计值 $\text{[math]}$ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ $\text{[math]}$ ﹣3 $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9974¹⁶≈0.9592， $\text{[math]}$ ≈0.09．

【考点】

用样本的数字特征估计总体的数字特征; 离散型随机变量的期望与方差; 二项分布; 正态密度曲线的特点;

【答案】

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解答题普通

1. 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.

(1) 若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

(2) 若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

(3) 如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.

解答题普通

2. 已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位：g）将它们分成5组： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 得到如下频率分布直方图.

(1) 用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2) 按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.

（ⅰ）已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率；

（ⅱ）记这3个石榴中质量在区间 $\text{[math]}$ 内的个数为X ，求X的分布列与数学期望.

解答题普通

3. 盒中有标记数字 $\text{[math]}$ 的小球各1个.

(1) 随机一次取出3个小球，求3个小球上的数字之和大于10的概率；

(2) 随机一次取出1个小球并记录下小球上的数字，重复以上操作，直到记录下的数字中同时出现1和2或者同时出现3和4.记操作的次数为 $\text{[math]}$ .

（i）若每次操作后不将取出的小球放回盒中，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ ；

（ii）若每次操作后将取出的小球放回盒中，求 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ .

解答题普通