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1. (数字与数位)对于一个任意三位数m,如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字,则称m为“开心数”。现将m的个位作为十位,十位作为百位,百位作为个位,得到一个新数n。并规定
。
例如,143是一个“开心数”,将其个位作为十位,十位作为百位,百位作为个位,得到一个新数n=431,所以
(1)
求出F(132)与F(462)的值;
(2)
若F(m)是8的倍数,则称这样的m为“幸运开心数”。求出所有的“幸运开心数”。
【考点】
定义新运算; 倍数的特点及求法;
【答案】
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困难
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1. 将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)得到新三位数
在所有重新排列中,当
最小时,我们称
是n的“调和优选数”,并规定F(n)
例如215可以重新排列为125,152、215,因为
且
所以125是215的是“调和优选数”,
(1)
(2)
如果在正整数n的三个数位上的数字中,有一个数是另外两个数的平均数,求证:F(n)是一个完全平方数。
(3)
设三位自然数
, x,y为自然数)交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t',若
, 那么我们称t为“和顺数”.求所有“和顺数”中F(t)的最大值。
解决问题
困难
2. 用“◎”表示一种新的运算符号,已知:2◎3=2+3+4;7◎2=7+8;3◎5=3+4+5+6+7,…按此规律,如果n◎8=68,那么n是多少?
解决问题
普通
3. 定义:如果一个数的平方等于-1。记为1,这个数i叫做虚数单位。把形如a+bi(a b为实数)的数叫做复数,其中a叫做这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部:它的加,减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似。
例如, 计算
;
拫据以上信息,完成下列问题:
(1)
计算:
(2)
求:
解决问题
普通