（数字与数位）对于一个任意三位数m，如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称m为“开心数”。现将m的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数n。并规定。例如，143是一个“开心数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数n=431，所以

1. （数字与数位）对于一个任意三位数m，如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称m为“开心数”。现将m的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数n。并规定 $\text{[math]}$ 。

例如，143是一个“开心数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数n=431，所以 $\text{[math]}$

(1) 求出F（132）与F（462）的值；

(2) 若F（m）是8的倍数，则称这样的m为“幸运开心数”。求出所有的“幸运开心数”。

【考点】

定义新运算; 倍数的特点及求法;

【答案】

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解决问题困难

1. 将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)得到新三位数 $\text{[math]}$ 在所有重新排列中，当 $\text{[math]}$ 最小时，我们称 $\text{[math]}$ 是n的“调和优选数”，并规定F(n) $\text{[math]}$ 例如215可以重新排列为125，152、215，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 所以125是215的是“调和优选数”， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$

(2) 如果在正整数n的三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数。

(3) 设三位自然数 $\text{[math]}$ ， x，y为自然数)交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t'，若 $\text{[math]}$ ，那么我们称t为“和顺数”.求所有“和顺数”中F(t)的最大值。

解决问题困难

2. 对于一个大于100的整数，若将它的后两位之前的数移到个位之后，重新得到一个新数，称之为原数的“兄弟数”。比如：2017的兄弟数为1720，158的兄弟数为581。根据以上阅读材料，回答下列问题。

(1) 求证：一个三位数与其兄弟数之差一定能被9整除；

(2) 已知一个六位数的兄弟数恰好是原六位数4倍，求满足条件的原六位数。

解决问题普通

3. 把1、2、3、4、5……10这10个正整数，按照一定的顺序填入从左到右分别标记为1到10的10个空位中，选中两个不同的空位记为“对”，如选中2号位和5号位，此时标号小的数位中的数，如果小于标号大的数位中的数，则称这是顺序对，否则称为逆序对。

(1) 10个位置会产生多少个“对”？

(2) 把1到10，按照1、3、5、7、9、2、4、6、8、10的顺序填入，一共有多少个顺序对？

(3) 有没有一种填数方法可以使得顺序对比逆序对恰好多偶数个？

解决问题普通