在平面直角坐标系中，已知点，，，为动点，满足.

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为动点，满足 $\text{[math]}$ .

(1) 求动点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 已知过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（ⅰ）记直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值；

（ⅱ）直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

【考点】

双曲线的定义; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知圆 $\text{[math]}$ ，动圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相内切，且经过定点 $\text{[math]}$

(1) 求动圆圆心 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 与（1）中轨迹交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 外接圆的圆心为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点），平面上是否存在两定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由.

解答题普通

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点.

(1) 若直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(2) 记线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

解答题困难

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 焦点的直线交抛物线于M ， N两点， $\text{[math]}$ 的最小值为4.连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 并延长分别交 $\text{[math]}$ 于A ， B两点，且点A与点M ，点B与点N均不在同一象限， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 记 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

解答题困难