已知在处切线为l ．

1. 已知 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处切线为l ．

(1) 若切线l的斜率 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 单调区间；

(2) 证明：切线l不经过 $\text{[math]}$ ；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，切线l与y轴交于点B时．当 $\text{[math]}$ ，符合条件的A的个数为？

（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

【考点】

导数的几何意义; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值; 导数在最大值、最小值问题中的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 重庆江北国际机场T3B航站楼预计于今年完工，该建筑的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线 $\text{[math]}$ 上的曲线段 $\text{[math]}$ ，其弧长为 $\text{[math]}$ ，当动点从A沿曲线段 $\text{[math]}$ 运动到B点时，A点的切线 $\text{[math]}$ 也随着转动到B点的切线 $\text{[math]}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $\text{[math]}$ （它等于 $\text{[math]}$ 的倾斜角与 $\text{[math]}$ 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 $\text{[math]}$ 为曲线段 $\text{[math]}$ 的平均曲率；显然当B越接近A ，即 $\text{[math]}$ 越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率计算公式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 求单位圆上圆心角为 $\text{[math]}$ 的圆弧的平均曲率；

(2) 已知函数 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 的曲率的最大值；

(3) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 曲率为0时x的最小值分别为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处与直线 $\text{[math]}$ 相切．

(1) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数）上的最大值和最小值．

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与直线 $\text{[math]}$ 垂直．

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值．

解答题普通