在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x) 的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f(x)为“α旋转函数”.

1. 在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x) 的图象绕坐标原点逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f(x)为“α旋转函数”.

(1) 判断函数y=√5x是否为“ $\text{[math]}$ 旋转函数”，并说明理由；

(2) 已知函数f(x)=In(2x+1)(x>0) 是“α旋转函数”，求tanα 的最大值；

(3) 若函数 $\text{[math]}$ “ $\text{[math]}$ 旋转函数”，求m 的取值范围.

【考点】

函数的概念及其构成要素; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值; 函数的零点与方程根的关系;

【答案】

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解答题困难

1. 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有定义，且对于任意不同的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 类函数”.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 上的“3类函数”；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“2类函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“2类函数”，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 的最小值为0，求a；

(2) 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是增函数，求a的取值范围．

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数．

(1) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，设关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立时 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难