已知函数

1. 已知函数 $\text{[math]}$

(1) 是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调区间相同？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

(2) 已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的零点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的零点.

（i）证明： $\text{[math]}$ .

（ii）证明： $\text{[math]}$ .

【考点】

函数的图象; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值; 利用导数研究函数最大（小）值; 函数的零点与方程根的关系;

【答案】

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解答题困难

1. 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极值点，且对任意 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ．

(1) 判断 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ 存在极值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，

①求a的取值范围；

②求证： $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的极值；

(2) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 时恒成立，求整数 $\text{[math]}$ 的最大值．

解答题困难