某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化天数x12345678910作物高度y/cm9101011121313141414

1. 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化

天数x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
作物高度y/cm	9	10	10	11	12	13	13	14	14	14

(1) 观察散点图可知，天数 $\text{[math]}$ 与作物高度 $\text{[math]}$ 之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度 $\text{[math]}$ 关于天数 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 用分数表示）；

(2) 小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为 $\text{[math]}$ ，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.

参考公式： $\text{[math]}$ .参考数据： $\text{[math]}$ .

【考点】

线性回归方程;

【答案】

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解答题普通

1. 随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.

年月	2023年8月	2023年9月	2023年10月	2023年11月	2023年12月	2024年1月
月份编号 $\text{[math]}$	1	2	3	4	5	6
销售金额 $\text{[math]}$ /万元	15.4	25.4	35.4	85.4	155.4	195.4

若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：

(1) 试求变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的样本相关系数 $\text{[math]}$ （结果精确到0.01）；

(2) 试求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（ $\text{[math]}$ ，均保留一位小数）

附：经验回归方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，

样本相关系数 $\text{[math]}$

参考数据： $\text{[math]}$ .

解答题普通

2. 混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度（单位： $\text{[math]}$ ）随龄期（单位：天）的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 时的抗压强度 $\text{[math]}$ 的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
9.4	29.7	2	366	5.5	439.2	55

表中 $\text{[math]}$ ．

(1) 根据散点图判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 哪一个适宜作为抗压强度 $\text{[math]}$ 关于龄期 $\text{[math]}$ 的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程；

(2) 工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度 $\text{[math]}$ 视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为 $\text{[math]}$ ．

（i）试预测该批次混凝土是否达标？

（ii）由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度 $\text{[math]}$ 与第28天的抗压强度 $\text{[math]}$ 具有线性相关关系 $\text{[math]}$ ，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度．

附： $\text{[math]}$

参考数据： $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 在2023年春节期间，某商场对销售的某商品一天的投放量x及其销量y进行调查，发现投放量x和销售量y之间的一组数据如下表所示：

投放量x	6	8	10	12
销售量y	2	3	5	6

通过分析，发现销售量y对投放量x具有线性相关关系。

(1) 求销售量y对投放量x的回归直线方程；

(2) 欲使销售量为8，则投放量应定为多少．（保留小数点后一位数） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

解答题普通