在整数的除法运算中。只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数一“差一数”，定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”。例如：14÷5=2…4，14÷3=4…2.所以14是“差一数”：19÷5=34，19÷3=61所以19不是“差一数”。

1. 在整数的除法运算中。只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数一“差一数”，定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”。例如：14÷5=2…4，14÷3=4…2.所以14是“差一数”：19÷5=34，19÷3=61所以19不是“差一数”。

(1) 判断49和74是否为“差一数”?

(2) 求大于300且小于400的所有“差一数”。

【考点】

定义新运算; 余数和除数的关系;

【答案】

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解决问题普通

1. 将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)得到新三位数 $\text{[math]}$ 在所有重新排列中，当 $\text{[math]}$ 最小时，我们称 $\text{[math]}$ 是n的“调和优选数”，并规定F(n) $\text{[math]}$ 例如215可以重新排列为125，152、215，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 所以125是215的是“调和优选数”， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$

(2) 如果在正整数n的三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数。

(3) 设三位自然数 $\text{[math]}$ ， x，y为自然数)交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t'，若 $\text{[math]}$ ，那么我们称t为“和顺数”.求所有“和顺数”中F(t)的最大值。

解决问题困难

2. 用“◎”表示一种新的运算符号，已知：2◎3＝2+3+4；7◎2＝7+8；3◎5＝3+4+5+6+7，…按此规律，如果n◎8＝68，那么n是多少？

解决问题普通

3. 定义：如果一个数的平方等于-1。记为1，这个数i叫做虚数单位。把形如a+bi（a b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部：它的加，减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似。

例如，计算 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

拫据以上信息，完成下列问题：

(1) 计算： $\text{[math]}$

(2) 求： $\text{[math]}$

解决问题普通