一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室大棚，如图 1．如图 2，某个温室大棚的横截面可以看作由矩形和抛物线构成，其中，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点．若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系．请回答下列问题：

1. 一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室大棚，如图 1．

如图 2，某个温室大棚的横截面可以看作由矩形 $\text{[math]}$ 和抛物线 $\text{[math]}$ 构成，其中 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若以点 $\text{[math]}$ 为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴建立如图所示的平面直角坐标系．

请回答下列问题：

(1) 如图 2，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ，求抛物线的解析式．

(2) 如图 3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形的排气装置 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求两个正方形的排气装置的间距 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 如图 4，在某一时刻，太阳光线透过点 $\text{[math]}$ 恰好照射到点 $\text{[math]}$ ，此时蔬菜大棚横截面的阴影为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（ $\text{[math]}$ ，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为 $\text{[math]}$ ，四边形BDEF为平行四边形．

(1) 求点F的坐标及抛物线的解析式；

(2) 若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；

(3) 在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．

综合题困难

2. 在平面直角坐标系 xOy 中，等腰直角 $\text{[math]}$ 的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A ， B在x轴上，且 $\text{[math]}$ ，抛物线经过A ， B ， C三点，如图1所示．

(1) 求抛物线所表示的二次函数表达式．

(2) 过原点任作直线l交抛物线于M ， N两点，如图2所示．

①求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．

②已知 $\text{[math]}$ 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

综合题困难