设函数.

1. 设函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的极值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求正实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

函数恒成立问题; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个极值点，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 证明： $\text{[math]}$ 为自然对数的底数 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时.处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为 $\text{[math]}$ ，相应的双曲正弦函数的表达式为 $\text{[math]}$

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的极小值；

(2) 若对任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难