综合与实践探究【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过、旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系。因此他和同学一起对这个问题进行了数学探究。已知和都是等腰直角三角形，且

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1. 综合与实践探究

【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过、旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系。因此他和同学一起对这个问题进行了数学探究。

已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$

(1) 【初步探究】小鸣将 $\text{[math]}$ 绕点A在平面内自由旋转，连接BD、CE后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图1，请探究线段BD、CE的数量关系，并说明理由。

(2) 【深入探究】若 $\text{[math]}$ ，在旋转过程中，当点D、点E和BC的中点O三点共线时，如图2，请探究线段BD、DO和OE的数量关系，并说明理由。

(3) 【应用探究】如图2，在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （直接写出结果）

(4) 【拓展探究】如图3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （直接写出结果）

【考点】

含30°角的直角三角形; 勾股定理; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 问题初探

综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，在四形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E ， F ，分别在边AB ， AD上，且 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段BE ， DF ， EF之间的数量关系，并证明．小明同学发现，如图2，在AB延长线上截取 $\text{[math]}$ ，连接CG ．通过两次证明，证明三角形全等，可以解决问题．

请你直接写出（1）中的结论．

(2) 类比分析

李老师发现同学们运用了转化思想，构造全等三角形解决问题：为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师又提出下面问题，请你解答．

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D，E在边AB上，且 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段AD ， BE ， DE之间的数量关系，并证明．

(3) 学以致用

如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在边AB上，用等式表示线段AD ， BD ， CD之间的数量关系，并证明．

实践探究题困难

2. 综合与实践

小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：

课题	在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 $\text{[math]}$
模型抽象
测绘数据	①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为15米．
	②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为17米．
	③牵线放风筝的手到地面的距离 $\text{[math]}$ 为1.6米．
说明	点A，B，E，D在同一平面内