如图，过点作直线分别与直线AB，CD相交于E、F两点，的角平分线交直线AB于点，射线MP交直线CD于点.设，其中满足.

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1. 如图，过点 $\text{[math]}$ 作直线分别与直线AB，CD相交于E、F两点， $\text{[math]}$ 的角平分线交直线AB于点 $\text{[math]}$ ，射线MP交直线CD于点 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

(1) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(2) 求证： $\text{[math]}$ .

(3) 过点 $\text{[math]}$ 作直线QR分别交直线AB于点 $\text{[math]}$ ，交直线CD于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 重合.作 $\text{[math]}$ 的角平分线交线段MF于点 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系.

【考点】

平行线的判定与性质; 三角形的外角性质; 算术平方根的性质（双重非负性）; 角平分线的概念;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【问题情境】：活动课上，老师提出如下问题：有一块如图1所示的不规则七边形木板，其边缘 $\text{[math]}$ 是画在该木板上的两条线段，仅用量角器，设计一种方案，说明 $\text{[math]}$ ，下面是 "兴趣小组 "和 "智慧小组" 的探究交流过程，请认真阅读并解决所提出的问题。

【展示交流】：

一是兴趣小组：如图 2，我们小组经过测量，发现 $\text{[math]}$ ，可证 $\text{[math]}$ .

理由如下：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ .

则 $\text{[math]}$ . （依据 1）

因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$

因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ .

所以 $\text{[math]}$ ，

所以 $\text{[math]}$ 。（依据 2）

所以 $\text{[math]}$ . （依据 3）

二是智慧小组：如图 3，我们小组通过测量，发现 $\text{[math]}$ ，也可证明 $\text{[math]}$ .

理由如下：连接 $\text{[math]}$ .

因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ .

(1) 【数学思考】：

请你写出 "兴趣小组" 交流过程所需要填写的依据：

依据 1： $\text{[math]}$

依据 2： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

依据 3： $\text{[math]}$

(2) 【问题解决】：

请你帮助 "智慧小组" 把未完成的说理过程补充完整。

实践探究题普通

2. 小江与小北在讨论性质“平行于同一条直线的两条直线平行”的证明方法．

小江说道：“我们之前证明两条直线平行时，常在“三线八角”的图形中进行研究．此图中没有“三线八角”的图形，能不能构造出“三线八角”的图形呢？”

小北想了想，说道：“可以构造一条截线MN ，与三条已有直线AB ， CD ， EF ，分别交于点H ， G ， K ，然后就可以用平行线的判定定理进行证明了”．

按照上述同学的说法，完成证明：

已知：如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ．

(1) 在图中画出辅助线MN ，并标出点H ， G ， K；

(2) 补全证明过程：

∵ $\text{[math]}$ （已知）

∴ $\text{[math]}$ （▲）

∵ $\text{[math]}$ （已知）

∴ $\text{[math]}$ _▲_（两直线平行，内错角相等）

∴∠_▲_=∠GKE（等量代换）

∴ $\text{[math]}$ （▲）

实践探究题普通

3. 综合与实践

【问题情境】数学课上，老师让同学们以“两条平行线 $\text{[math]}$ 和一块含 $\text{[math]}$ 角的直角三角尺 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ ”为背景开展数学活动，如图 $\text{[math]}$ ，将三角尺的点 $\text{[math]}$ 放置在直线 $\text{[math]}$ 某一定点处，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．