综合与实践【问题情境】数学课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺其中”为背景开展数学活动，如图，将三角尺的点放置在直线某一定点处，直线与直线相交于点．

1. 综合与实践

【问题情境】数学课上，老师让同学们以“两条平行线 $\text{[math]}$ 和一块含 $\text{[math]}$ 角的直角三角尺 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ ”为背景开展数学活动，如图 $\text{[math]}$ ，将三角尺的点 $\text{[math]}$ 放置在直线 $\text{[math]}$ 某一定点处，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 【操作探究】乐学小组的同学发现，如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 奋进小组的同学将三角尺 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转至图 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 【深入探究】博学小组继续探究，如图 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于 $\text{[math]}$ ，旋转三角尺 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 旋转到平行线之间，如果直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数 $\text{[math]}$ 用含有 $\text{[math]}$ 的代数式表示，写出其中一种情况即可 $\text{[math]}$ ．

【考点】

平行线的判定与性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【问题情境】：活动课上，老师提出如下问题：有一块如图1所示的不规则七边形木板，其边缘 $\text{[math]}$ 是画在该木板上的两条线段，仅用量角器，设计一种方案，说明 $\text{[math]}$ ，下面是 "兴趣小组 "和 "智慧小组" 的探究交流过程，请认真阅读并解决所提出的问题。

【展示交流】：

一是兴趣小组：如图 2，我们小组经过测量，发现 $\text{[math]}$ ，可证 $\text{[math]}$ .

理由如下：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ .

则 $\text{[math]}$ . （依据 1）

因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$

因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ .

所以 $\text{[math]}$ ，

所以 $\text{[math]}$ 。（依据 2）

所以 $\text{[math]}$ . （依据 3）

二是智慧小组：如图 3，我们小组通过测量，发现 $\text{[math]}$ ，也可证明 $\text{[math]}$ .

理由如下：连接 $\text{[math]}$ .

因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ .

(1) 【数学思考】：

请你写出 "兴趣小组" 交流过程所需要填写的依据：

依据 1： $\text{[math]}$

依据 2： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

依据 3： $\text{[math]}$

(2) 【问题解决】：

请你帮助 "智慧小组" 把未完成的说理过程补充完整。

实践探究题普通

2. 小江与小北在讨论性质“平行于同一条直线的两条直线平行”的证明方法．

小江说道：“我们之前证明两条直线平行时，常在“三线八角”的图形中进行研究．此图中没有“三线八角”的图形，能不能构造出“三线八角”的图形呢？”

小北想了想，说道：“可以构造一条截线MN ，与三条已有直线AB ， CD ， EF ，分别交于点H ， G ， K ，然后就可以用平行线的判定定理进行证明了”．

按照上述同学的说法，完成证明：

已知：如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ．

(1) 在图中画出辅助线MN ，并标出点H ， G ， K；

(2) 补全证明过程：

∵ $\text{[math]}$ （已知）

∴ $\text{[math]}$ （▲）

∵ $\text{[math]}$ （已知）

∴ $\text{[math]}$ _▲_（两直线平行，内错角相等）

∴∠_▲_=∠GKE（等量代换）

∴ $\text{[math]}$ （▲）

实践探究题普通

3. 阅读下列材料，并解答相关问题．

背景	在探究三角形内角和定理的课上，李老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明．
问题初探	嘉嘉经过观察、思考之后，发现过三角形ABC的顶点A作 $\text{[math]}$ ，则由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形三个内角的和等于180°”这个命题．已知：如图1，在三角形ABC中，过顶点A作 $\text{[math]}$ ．图1 求证： $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ▲ ， ∠C＝ ▲ ．（ ▲ ） $\text{[math]}$ ，（平角定义） ∴∠BAC＋ ▲ ＋ ▲ ＝180°．（等量代换）
类比分析	淇淇将顶点A的位置一般化（如图2），换成三角形ABC边AB上的任意一点P ，过顶点P分别作平行于AC ， BC的平行线，由平行线的性质与平角的定义，也证明了“三角形三个内角的和等于180°”这个命题．图2
学以致用	为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务．图3是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图4是其平面示意图，其中AB ， CD都与地面l平行， $\text{[math]}$ ，当∠MAC＝_▲_°时， $\text{[math]}$ ．图3 图4

(1) 补全嘉嘉的证明过程中序号所对应的内容．

(2) 对于淇淇的证明思路，请你先作出辅助线，再完成这个证明．

(3) 在图4中，当∠MAC＝°时， $\text{[math]}$ ．

实践探究题普通