估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算．信息一：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确．信息二：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5-2得来的；信息三：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为，根据上述信息，回答下列问题：

1. 估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算．

信息一：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 等而常用的“…”或者“ $\text{[math]}$ ”的表示方法都不够百分百准确．

信息二：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5-2得来的；

信息三：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如 $\text{[math]}$ ，是因为 $\text{[math]}$ ，根据上述信息，回答下列问题：

(1) $\text{[math]}$ 的整数部分，小数部分是．

(2) $\text{[math]}$ 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为： $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ，其中x是整数， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

无理数的大小比较; 无理数的估值; 不等式的性质;

【答案】

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实践探究题普通

1. 阅读理解，并回答问题：

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\text{[math]}$ ．

(1) 类比上述方法，求 $\text{[math]}$ 的整数部分和小数部分；

(2) 试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由．

实践探究题普通

2. 【阅读理解】

【材料一】 $\text{[math]}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\text{[math]}$ 的小数部分不可能全部写出来，但可用 $\text{[math]}$ 来表示 $\text{[math]}$ 的小数部分.因为 $\text{[math]}$ 的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分.由此得到一个真命题：

如果 $\text{[math]}$ ，其中a是整数，且 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

【材料二】已知x ， y是有理数，并且满足等式 $\text{[math]}$ ，求x ， y的值.

解：∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ .

∴ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

请解答：

(1) 如果 $\text{[math]}$ ，其中m是整数，且 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 如果 $\text{[math]}$ 的小数部分为a ， $\text{[math]}$ 的整数部分为b ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知x ， y是有理数，并且满足等式 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

实践探究题困难

3. 综合与实践

【问题情境】无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、 $\text{[math]}$ 等，而常用“……”或者“ $\text{[math]}$ ”的表示方法都不够百分百准确；于是小刚用 $\text{[math]}$ 来表示 $\text{[math]}$ 的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？

【猜想证明】事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为 $\text{[math]}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，所以， $\text{[math]}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\text{[math]}$ ，也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间．

【问题解决】

(1) 试着写出 $\text{[math]}$ 的整数部分和小数部分；

(2) $\text{[math]}$ 也是夹在两个整数之间的，可以表示为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是多少？

(3) 若 $\text{[math]}$ ，其中x是整数，且 $\text{[math]}$ ，求： $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通