综合与实践【问题情境】无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、等，而常用“……”或者“”的表示方法都不够百分百准确；于是小刚用来表示的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？【猜想证明】事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以，的整数部分为2，小数部分为，也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间．【问题解决】

1. 综合与实践

【问题情境】无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、 $\text{[math]}$ 等，而常用“……”或者“ $\text{[math]}$ ”的表示方法都不够百分百准确；于是小刚用 $\text{[math]}$ 来表示 $\text{[math]}$ 的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？

【猜想证明】事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为 $\text{[math]}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，所以， $\text{[math]}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\text{[math]}$ ，也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间．

【问题解决】

(1) 试着写出 $\text{[math]}$ 的整数部分和小数部分；

(2) $\text{[math]}$ 也是夹在两个整数之间的，可以表示为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是多少？

(3) 若 $\text{[math]}$ ，其中x是整数，且 $\text{[math]}$ ，求： $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

无理数的估值;

【答案】

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实践探究题普通

1. 【阅读理解】

【材料一】 $\text{[math]}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\text{[math]}$ 的小数部分不可能全部写出来，但可用 $\text{[math]}$ 来表示 $\text{[math]}$ 的小数部分.因为 $\text{[math]}$ 的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分.由此得到一个真命题：

如果 $\text{[math]}$ ，其中a是整数，且 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

【材料二】已知x ， y是有理数，并且满足等式 $\text{[math]}$ ，求x ， y的值.

解：∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ .

∴ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

请解答：

(1) 如果 $\text{[math]}$ ，其中m是整数，且 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 如果 $\text{[math]}$ 的小数部分为a ， $\text{[math]}$ 的整数部分为b ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知x ， y是有理数，并且满足等式 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

实践探究题困难

2. “说不完的 $\text{[math]}$ ”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题.

(1) $\text{[math]}$ 到底有多大？

下面是小欣探索 $\text{[math]}$ 的近似值的过程，请补充完整，并将答案填写在答题卡上：

我们知道面积是2的正方形边长是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ，画出如下示意图.

由面积公式，可得 $\text{[math]}$ .

因为 $\text{[math]}$ 值很小，所以 $\text{[math]}$ 更小，略去 $\text{[math]}$ ，

得方程（②），解得 $\text{[math]}$ （保留到0.001），即 $\text{[math]}$ .

(2) 怎样画出 $\text{[math]}$ ？请一起参与小敏探索画 $\text{[math]}$ 过程.

现有2个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.

要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.

小敏同学的做法是：设新正方形的边长为 $\text{[math]}$ .依题意，割补前后图形的面积相等，有 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ .把图（1）如图所示进行分割，请在图2中用实线画出拼接成的新正方形.

请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图3，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格图4中用实线画出拼接成的新正方形.说明：直接画出图形，不要求写分析过程.

实践探究题困难

3. 无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来．

材料一：估算法确定无理数的小数部分

∵ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ 的整数部分为2，

∴ $\text{[math]}$ 的小数部分为 $\text{[math]}$ ；

材料二：面积法求一个无理数的近似值，

已知面积为5的正方形的边长是 $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴设 $\text{[math]}$ （x为 $\text{[math]}$ 的小数部分，0＜x＜1）．

画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，S_正方形＝x²+2•x+2•x+4，

∵S_正方形＝5，

∴x²+2•x+2•x+4＝5

略去x² ，得方程4•x+4＝5，解得：x＝0.25，即 $\text{[math]}$ ，

解决问题：

(1) 结合你所学的知识，探究 $\text{[math]}$ 的近似值（结果精确到0.01）；

(2) 请总结估算 $\text{[math]}$ （n为开方开不尽的数）的一般方法．

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