如图，在中，，， D、E是边BC上的两点，过点D ， E分别作，，垂足为M ， N ， MD与NE的延长线交于点，连接AD ， AE.

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D、E是边BC上的两点，过点D ， E分别作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为M ， N ， MD与NE的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，连接AD ， AE.

(1) 若 $\text{[math]}$ .

①求证： $\text{[math]}$ .

②试判断四边形 $\text{[math]}$ 是什么特殊的四边形，并说明理由.

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

勾股定理; 正方形的判定; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形; 半角模型;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，Q为AB的中点．动点P从点A出发沿折线AC--CB以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ，以PQ为边构造正方形PMNQ且边MN与点B始终在边PQ同侧．设点P的运动时间为t秒(>0)．

(1) 线段AB的长为

(2) 当点P在边AC上运动时，线段CP的长为 ▲ (用含t的代数式表示) ．

①当正方形PMNQ与△ABC重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围．

②当边MN的中点落在△ABC的边上时，求正方形PMNQ的面积．

(3) 当点P不与点C重合时，作点C关于直线PQ的对称点C'当PC'⊥AB时，直接写出t的值．

综合题普通

2. 在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差.

(1) 概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为；

(2) 性质探究：如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 的勾股差为 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 的勾股差为 $\text{[math]}$ ；

①求 $\text{[math]}$ 的值（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

②试说明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为相反数；

(3) 性质应用：如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题普通

3. 已知线段 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ 且交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，分别连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 根据题意，补全图形；

(2) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 为正方形．

综合题普通