1.
【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为
， 较小的直角边长都为
， 斜边长都为
），大正方形的面积可以表示为
， 也可以表示为
， 由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为
， 斜边长为 ， 则
．
(1)
图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，下面是利用图②推导勾股定理的过程，完成填空；
(2)
【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄
， 河边原有两个取水点
， 
， 由于某种原因，由到
的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点
（
、
在同一条直线上），并新修一条路
， 且
． 测得
千米，
千米，求新路比原路CA少多少千米？
(3)
【迁移应用】小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若
时， ， 
， 
， 
， 设
， 可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程．
解：梯形的面积可表示为： ▲ ，
也可以表示为： ▲ ，
，
，
▲
即；
【考点】
勾股定理;
勾股定理的证明;
勾股定理的应用;
能力提升
