我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a ， b ，斜边长为c）．

1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a ， b ，斜边长为c）．

(1) 如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．

方法1： $\text{[math]}$ ；

方法2： $\text{[math]}$ ；

根据以上信息，可以得到等式：；

(2) 小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；

(3) 如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求阴影部分的面积．

【考点】

完全平方公式的几何背景; 勾股定理的证明; 几何图形的面积计算-割补法;

【答案】

您现在未登录，无法查看试题答案与解析。登录

解答题普通

1. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．

(1) 【知识生成】

观察图1，用两种不同的方法表示阴影部分的面积可得到一个等式： $\text{[math]}$ ______；若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；

(2) 【灵活运用】

已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 【拓展迁移】

如图2，某校园艺社团在靠墙的空地上，用长12米的篱笆，再借助墙围成一个长方形花圃 $\text{[math]}$ ，面积为18平方米，其中墙足够长．随着学校社团成员的增加，学校在花圃 $\text{[math]}$ 旁分别以 $\text{[math]}$ 为边长向外扩建四个正方形花圃，以 $\text{[math]}$ 为边长向外扩建一个正方形花圃（扩建部分为如图2所示的虚线区域），求花圃扩建后增加的面积．

解答题普通

2. 现有4个全等的直角三角形(阴影部分)，直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状.

(1) 添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：

整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为；根据面积相等，直接得等式，化简最后结果是，从而证明勾股定理.

(2) 当 a=5， b=8时，求空白部分的面积.

解答题普通

3. 数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．

【问题探究】

探究1：如图1所示，大正方形的边长是 $\text{[math]}$ ，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论： $\text{[math]}$

探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出 $\text{[math]}$ 的结果．

【形成结论】

（1）探究2中 $\text{[math]}$ ；

【应用结论】

（2）利用（1）问所得到的结论求解：

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

【拓展应用】

（3）在（2）的条件下，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通