平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，两点，与轴交于点．

1. 平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式，并直接写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 在抛物线的对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是直角三角形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3) 如图，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ 最小，若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

【考点】

二次函数图象与坐标轴的交点问题; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A ， B两点（A在B的左边）交y轴于点C ，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m ．

图1 图2

(1) 直接写出A ， B ， C三点的坐标；

(2) 如图1，若点P在第一象限内抛物线上运动，当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；

(3) 如图2，点N是经过点B的直线 $\text{[math]}$ 上一点，直线 $\text{[math]}$ 轴，交直线BC于点M ，过点P作直线 $\text{[math]}$ 轴，交直线BC于点Q ．

①当 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值；

②记线段 $\text{[math]}$ 的长度为l ，当 $\text{[math]}$ 时，求m的取值范围．

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，其对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线的函数解析式；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 为第三象限抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别是直线 $\text{[math]}$ 和抛物线上的动点，且点 $\text{[math]}$ 的横坐标比点 $\text{[math]}$ 的横坐标大 $\text{[math]}$ 个单位长度，分别过 $\text{[math]}$ 作坐标轴的平行线，得到矩形 $\text{[math]}$ ．设该抛物线在矩形 $\text{[math]}$ 内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值；

$\text{[math]}$ 请直接写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式．

综合题困难

3. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B ，与y轴交于点C ，对称轴为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，若点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不与点B ， C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q ，连接 $\text{[math]}$ ．当线段 $\text{[math]}$ 长度最大时，判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由；

(3) 如图2，在（2）的条件下，D是 $\text{[math]}$ 的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E ，且 $\text{[math]}$ ．在y轴上是否存在点F ，使得 $\text{[math]}$ 为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难