现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与对应坐标差的绝对值之和，即为.基本事实：①在三维空间中，立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中；②在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，并称其为“维立方体”，其中.请根据以上定义和基本事实回答下面问题：

1. 现有如下定义：在 $\text{[math]}$ 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 对应坐标差的绝对值之和，即为 $\text{[math]}$ .

基本事实：①在三维空间中，立方体的顶点坐标可用三维坐标 $\text{[math]}$ 表示，其中 $\text{[math]}$ ；②在 $\text{[math]}$ 维空间中 $\text{[math]}$ ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 $\text{[math]}$ 维坐标 $\text{[math]}$ ，并称其为“ $\text{[math]}$ 维立方体”，其中 $\text{[math]}$ .

请根据以上定义和基本事实回答下面问题：

(1) 若“ $\text{[math]}$ 维立方体”的顶点个数为 $\text{[math]}$ ， “ $\text{[math]}$ 维立方体”的顶点个数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 记随机变量 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

【考点】

离散型随机变量及其分布列; 离散型随机变量的期望与方差; 分步乘法计数原理; 基本计数原理的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 在坐标平面内 0≤x，y≤n (n≥1) 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数的一个整点P(a，b)(a，b∈Z)，记该点到坐标原点的距离是随机变量X

相关公式： $\text{[math]}$

(1) 当 n=2 时，写出X的分布列和期望.

(2) 记随机变量 a与b分别表示 P(a，b)的横纵坐标.

①求出 a+b 的期望 E(a+b)

②现在实际上选取了四个点 $\text{[math]}$ 尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此来得到估计值 $\text{[math]}$ (四舍五入取整).

(3) 记方差 D(X)，试证明 D(X)< $\text{[math]}$

解答题普通

2. 在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是 $\text{[math]}$ ，每个人答题正确与否互不影响．

(1) 求考生甲得分X的分布列和数学期望EX；

(2) 求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率．

解答题普通

3. 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为 $\text{[math]}$ ．甲如果第 $\text{[math]}$ 轮猜对，则他第 $\text{[math]}$ 轮也猜对的概率为 $\text{[math]}$ ，如果第 $\text{[math]}$ 轮猜错，则他第 $\text{[math]}$ 轮也猜错的概率为 $\text{[math]}$ ；乙如果第 $\text{[math]}$ 轮猜对，则他第 $\text{[math]}$ 轮也猜对的概率为 $\text{[math]}$ ，如果第 $\text{[math]}$ 轮猜错，则他第 $\text{[math]}$ 轮也猜错的概率为 $\text{[math]}$ ．在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响．

(1) 若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；

(2) 若一条信息有 $\text{[math]}$ 种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度．试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数 $\text{[math]}$ 的信息熵 $\text{[math]}$ ．

(3) 如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止．设停止游戏时“星队”进行了 $\text{[math]}$ 轮游戏，求证： $\text{[math]}$ ．

解答题普通