已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上．

1. 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 上．

(1) 如图1，连接 $\text{[math]}$ ．

①请你探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系，并证明你的结论；

②求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，点F是 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，把一个含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 和一个正方形 $\text{[math]}$ 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点M ， $\text{[math]}$ 的中点N ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 若直角三角板 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 如图1摆放，点E、F分别在正方形的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

(2) 若直角三角板 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 如图2摆放，点E、F分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线．其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

(3) ①在摆放过程中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ▲ （用含a的式子表示）

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，在摆放的过程中， $\text{[math]}$ 的面积存在最大值 $\text{[math]}$ 和最小值 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 如图2，若点 $\text{[math]}$ 在第一象限且满足 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ．请探究 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

综合题困难

3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，请直接写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系是，位置关系是；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系并证明；

(3) 如图3， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外一点， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值为．

综合题困难