阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…22017+22108 ， ①则2S=2+22…+22018+22109，②由②－①，得2S-S=S=22109-1∴S=1+2+22+…22017+22108=22109-1.请仿照小明的方法解决以下问题：

1. 阅读下列材料：小明为了计算 $\text{[math]}$ 的值，采用以下方法：

设S=1+2+2²+…2²⁰¹⁷+2²¹⁰⁸ ， ①

则2S=2+2^2…+2²⁰¹⁸+2^2109，②

由②－①，得2S-S=S=2²¹⁰⁹-1

∴S=1+2+2²+…2²⁰¹⁷+2²¹⁰⁸=2²¹⁰⁹-1.

请仿照小明的方法解决以下问题：

(1) 1+2+2²+…+2⁹=；

(2) 3+3²+…+3¹⁰=；

(3) 求1+a+a²+…+aⁿ的和．（a>0，n是正整数，请写出计算过程）

【考点】

定义新运算;

【答案】

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解决问题困难

1. 将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)得到新三位数 $\text{[math]}$ 在所有重新排列中，当 $\text{[math]}$ 最小时，我们称 $\text{[math]}$ 是n的“调和优选数”，并规定F(n) $\text{[math]}$ 例如215可以重新排列为125，152、215，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 所以125是215的是“调和优选数”， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$

(2) 如果在正整数n的三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数。

(3) 设三位自然数 $\text{[math]}$ ， x，y为自然数)交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t'，若 $\text{[math]}$ ，那么我们称t为“和顺数”.求所有“和顺数”中F(t)的最大值。

解决问题困难

2. 用“◎”表示一种新的运算符号，已知：2◎3＝2+3+4；7◎2＝7+8；3◎5＝3+4+5+6+7，…按此规律，如果n◎8＝68，那么n是多少？

解决问题普通

3. 定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数。例如：[5.71]=5. [5]=5. [-π]=-4.

(1) 如果[a]=-3，求a的取值范围

(2) 如果[ $\text{[math]}$ 求满足条件的所有正整数x.

解决问题普通