如图①，和都是等边三角形．

1. 如图①， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形．

(1) 探究发现： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；

(2) 拓展运用：若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点不在一条直线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点在一条直线上（如图②），且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的边长分别为1和2，求 $\text{[math]}$ 的面积及 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 等边三角形的性质; 三角形全等的判定-SAS; 三角形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践

特例感知：

如图1，在等边三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，且 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，分别过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 试判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．

(2) 猜想论证：将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系是否仍然成立？请说明理由．

(3) 拓展延伸：将如图1所示的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转角度 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通

2. 综合与实践

问题情境

数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，△ACD和△BCE是两个等边三角形纸片，其中，AC＝5cm，BC＝2cm．

解决问题

(1) 勤奋小组将△ACD和△BCE按图1所示的方式摆放（点A，C，B在同一条直线上），连接AE，BD．发现AE＝DB，请你给予证明；

(2) 如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将△BCE绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求△ABC的面积；

拓展延伸

(3) 如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：将△BCE沿CD方向平移acm，得到B'C'E'，连接AB'，B'C，当△AB'C恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，求a的值．请你直接写出a的值．

实践探究题普通

3. 综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线．

求证： $\text{[math]}$ ．

(1) 解决问题：小敏的证明思路：在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．（如图2）

小洁的证明思路：延长 $\text{[math]}$ 至点E，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．（如图3）

请你任意选择一种思路完成证明．

(2) 问题升华：如图4，在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外角 $\text{[math]}$ 的平分线，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点D，则线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系又如何？请证明．

实践探究题普通