如图①，和都是等边三角形．

1. 如图①， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形．

(1) 探究发现： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；

(2) 拓展运用：若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点不在一条直线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点在一条直线上（如图②），且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的边长分别为1和2，求 $\text{[math]}$ 的面积及 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 等边三角形的性质; 三角形全等的判定-SAS; 三角形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 已知， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是以 $\text{[math]}$ 为斜边的直角三角形，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 两侧时，若 $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ 交CA的延长线于点E ．．

①猜想： $\text{[math]}$ _▲_ $\text{[math]}$ ；（请填入“＞”、“＝”或“＜”）

②证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 同侧时，若 $\text{[math]}$ ，猜想线段AC、BC、CD三者之间的数量关系，并说明理由．

实践探究题困难

(1) 【情境建模】苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．

小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形．即如图1，已知，点D在 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．请你帮助小明完成证明；

(2) 【理解内化】

请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：

①如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是角平分线，过点B作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 、AC于点E、F ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

②如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 【拓展应用】

如图4， $\text{[math]}$ 是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，该绿化带中修建了健身步道 $\text{[math]}$ ，其中入口M、N分别在 $\text{[math]}$ 上，步道 $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．现要用围挡完全封闭 $\text{[math]}$ 区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少m？（步道宽度和接头忽略不计）

实践探究题困难

3. 如图

(1) 【探究发现】

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则有下列命题：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程．

(2) 【类比迁移】

如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在三角形的内部，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 【拓展提升】

如图3．在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，把线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，把线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

实践探究题普通