综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，，是的平分线．求证：．

1. 综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线．

求证： $\text{[math]}$ ．

(1) 解决问题：小敏的证明思路：在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．（如图2）

小洁的证明思路：延长 $\text{[math]}$ 至点E，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．（如图3）

请你任意选择一种思路完成证明．

(2) 问题升华：如图4，在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外角 $\text{[math]}$ 的平分线，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点D，则线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系又如何？请证明．

【考点】

三角形全等的判定-SAS; 三角形的综合;

【答案】

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实践探究题普通

1. 综合与实践

问题情境

数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，△ACD和△BCE是两个等边三角形纸片，其中，AC＝5cm，BC＝2cm．

解决问题

(1) 勤奋小组将△ACD和△BCE按图1所示的方式摆放（点A，C，B在同一条直线上），连接AE，BD．发现AE＝DB，请你给予证明；

(2) 如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将△BCE绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求△ABC的面积；

拓展延伸

(3) 如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：将△BCE沿CD方向平移acm，得到B'C'E'，连接AB'，B'C，当△AB'C恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，求a的值．请你直接写出a的值．

实践探究题普通

2. 已知， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是以 $\text{[math]}$ 为斜边的直角三角形，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 两侧时，若 $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ 交CA的延长线于点E ．．

①猜想： $\text{[math]}$ _▲_ $\text{[math]}$ ；（请填入“＞”、“＝”或“＜”）

②证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 同侧时，若 $\text{[math]}$ ，猜想线段AC、BC、CD三者之间的数量关系，并说明理由．

实践探究题困难

(1) 【情境建模】苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．

小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形．即如图1，已知，点D在 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．请你帮助小明完成证明；

(2) 【理解内化】

请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：

①如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是角平分线，过点B作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 、AC于点E、F ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

②如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 【拓展应用】

如图4， $\text{[math]}$ 是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，该绿化带中修建了健身步道 $\text{[math]}$ ，其中入口M、N分别在 $\text{[math]}$ 上，步道 $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．现要用围挡完全封闭 $\text{[math]}$ 区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少m？（步道宽度和接头忽略不计）

实践探究题困难