如图所示，界线MN以下存在一个方向水平的磁场（垂直于纸面向里），取MN上一点O作为原点，竖直向下建立y轴，磁场的磁感应强度B随y坐标（以m为单位）的分布规律为。一边长为、质量为、电阻的正方形金属框abcd从MN上方静止释放，0.2s后金属框的cd边到达界线MN，此时给金属框施加一个竖直方向的外力F，直至金属框完全进入磁场时撤去该外力。已知金属框在进入磁场的过程中电流保持恒定，且金属框运动过程中上下边始终水平、左右边始终竖直，g取。

1. 如图所示，界线MN以下存在一个方向水平的磁场（垂直于纸面向里），取MN上一点O作为原点，竖直向下建立y轴，磁场的磁感应强度B随y坐标（以m为单位）的分布规律为 $\text{[math]}$ 。一边长为 $\text{[math]}$ 、质量为 $\text{[math]}$ 、电阻 $\text{[math]}$ 的正方形金属框abcd从MN上方静止释放，0.2s后金属框的cd边到达界线MN，此时给金属框施加一个竖直方向的外力F，直至金属框完全进入磁场时撤去该外力。已知金属框在进入磁场的过程中电流保持恒定，且金属框运动过程中上下边始终水平、左右边始终竖直，g取 $\text{[math]}$ 。

(1) 求金属框进入磁场的过程中电流大小I；

(2) 求当金属框完全进入磁场时，整个过程中克服安培力所做的功W；

(3) 求金属框完全进入磁场后最终做匀速直线运动的速度大小 $\text{[math]}$ 。

【考点】

导体切割磁感线时的感应电动势; 电磁感应中的动力学问题;

【答案】

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计算题普通

1. 如图所示，e₁f₁g₁和 e₂f₂g₂是两根足够长且电阻不计的固定光滑平行金属轨道，其中f₁g₁和 f₂g₂为轨道的水平部分， e₁f₁和 e₂f₂是倾角（θ=37°的倾斜部分。在f₁f₂右侧空间中存在磁感应强度大小 B=2T，方向竖直向上的匀强磁场，不计导体棒在轨道连接处的动能损失。将质量 m=1kg，单位长度电阻值R₀=10Ω/m的导体棒 ab于倾斜导轨上，距离斜面轨道底端高度 h=5cm，另一完全相同的导体棒cd静止于水平导轨上，导轨间距均为L=8cm。t=0时，导体棒ab从静止释放，到两棒最终稳定运动过程中， ab、cd棒未发生碰撞，且两导体棒始终与导轨保持垂直， g取10m/s²。求：

(1) ab 棒刚滑到斜面轨道底端时回路中产生的电流；

(2) 两导体棒的最终速度大小；

(3) 从开始计时到两棒最终稳定运动过程中，通过回路的电荷量。

计算题普通

2. 如图所示，长直金属杆M、N在水平固定的平行光滑长直金属导轨上运动，导轨间距为L；水平虚线 $\text{[math]}$ 与导轨垂直， $\text{[math]}$ 左、右两侧区域分别充满垂直于导轨平面且方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。初始时刻，N静止在 $\text{[math]}$ 左侧导轨上，M从N左侧以初速度 $\text{[math]}$ 水平向右运动．M、N质量均为m、在导轨间的电阻均为R，整个运动过程中，两金属杆始终与导轨垂直并接触良好．感应电流产生的磁场、导轨电阻、空气阻力及两金属杆粗细均忽略不计，导轨足够长。

(1) 求初始时刻M的加速度大小和方向；

(2) 若M、N在 $\text{[math]}$ 左侧未相撞，N进入 $\text{[math]}$ 右侧时速度大小为 $\text{[math]}$ ，求初始时刻M、N间距至少为多少？

(3) 在（2）的条件下，若M到达 $\text{[math]}$ 处时速度大小为 $\text{[math]}$ ，求M、N的碰撞次数，及M、N最终速度大小．

计算题困难

3. 如图，间距为 $\text{[math]}$ 的两平行光滑金属导轨水平放置。 $\text{[math]}$ 区域内有方向竖直向上、大小为 $\text{[math]}$ 的匀强磁场。初始时刻，磁场外的细金属杆 $\text{[math]}$ 以初速度 $\text{[math]}$ 向右运动，磁场内的细金属杆 $\text{[math]}$ 处于静止状态，两金属杆在运动过程中始终与导轨垂直，且在磁场内不相碰。已知金属杆 $\text{[math]}$ 出磁场时的速度为 $\text{[math]}$ ，金属杆 $\text{[math]}$ 的质量分别为 $\text{[math]}$ ，两金属杆在导轨间的电阻均为 $\text{[math]}$ ，忽略感应电流产生的磁场以及导轨的电阻，求：

(1) 金属杆 $\text{[math]}$ 的最大加速度大小；

(2) 初始时刻金属杆 $\text{[math]}$ 距磁场左边界 $\text{[math]}$ 的最小距离 $\text{[math]}$ ；

(3) 若初始时刻仅改变磁场左边界 $\text{[math]}$ 的位置，令金属杆 $\text{[math]}$ 距左边界 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ 金属杆 $\text{[math]}$ 依然在磁场外， $\text{[math]}$ ），要求金属杆 $\text{[math]}$ 能出磁场，且不与金属杆 $\text{[math]}$ 相撞，则 $\text{[math]}$ 的取值有何要求？

计算题困难